Info
Ovaj sajt je namenjen učenicima koji žele da uče samostalno uz predviđenu pomoć na ovoj prezentaciji.U delu "Teorija i obrasci" nalazi se pomoć za izradu zadataka. Tu su prisutni potrebni obrasci i objašnjenja.
Deo "Zadaci" sadrži 10 zadataka, poređanih po težini, sa potpunim postupkom prikazanim po koracima rešavanja.
Preporuka je da se zadaci rešavaju redom, po potrebi uz korišćenje obrazaca, a da se rešenja i tačan odgovor pogledaju tek na kraju rešavanja.
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
\( z=x+yi \)
\( x=|z|\cdot cos \alpha \)
\( y=|z|\cdot sin \alpha \)
\( \implies z=|z|(cos \alpha + i \cdot sin \alpha) \)
\( \implies z^n=|z|^n(cos (n \cdot \alpha) + i \cdot sin(n \cdot \alpha)) \)
\( x=|z|\cdot cos \alpha \)
\( y=|z|\cdot sin \alpha \)
\( \implies z=|z|(cos \alpha + i \cdot sin \alpha) \)
\( \implies z^n=|z|^n(cos (n \cdot \alpha) + i \cdot sin(n \cdot \alpha)) \)
Teorija i obrasci
\( i^0=1 \)
\( i^1=i \)
\( i^2=-1 \)
\( i^3=-i \)
\( i^1=i \)
\( i^2=-1 \)
\( i^3=-i \)
\( i^4=1 \)
\( i^5=i \)
\( i^6=-1 \)
\( i^7=-i \)
\( i^5=i \)
\( i^6=-1 \)
\( i^7=-i \)
\( \implies i^n=i^{n \, mod \, 4} \)
n mod 4 je ostatak pri deljenju sa 4
n mod 4 je ostatak pri deljenju sa 4
\( z = x+yi \) Algebarski oblik kompleksnog broja
\( Re(z) = x \) Realni deo kompleksnog broja
\( Im(z) = y \) Imaginarni deo kompleksnog broja
\( \overline{z} = x-yi \) Konjugovano-kompleksni broj
\( |z|=\sqrt{x^2+y^2} \) Modul kompleksnog broja
\( Re(z) = x \) Realni deo kompleksnog broja
\( Im(z) = y \) Imaginarni deo kompleksnog broja
\( \overline{z} = x-yi \) Konjugovano-kompleksni broj
\( |z|=\sqrt{x^2+y^2} \) Modul kompleksnog broja
\( z_1 = 3+4i \)
\( Re(z_1) = 3 \)
\( Im(z_1) = 4 \)
\( \overline{z_1} = 3-4i \)
\( |z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=5 \)
\( Re(z_1) = 3 \)
\( Im(z_1) = 4 \)
\( \overline{z_1} = 3-4i \)
\( |z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=5 \)
Računske operacije, primer: \( z_1 = 2+3i \) i \( z_2 = 3-i \)
\( z_1 + z_2 = 2+3i + 3-i = 5 + 2i \)
\( z_1 - z_2 = 2+3i - (3-i) = 2+3i - 3+i = -1 + 4i \)
\( z_1 \cdot z_2 = (2+3i) \cdot (3-i) = 6-2i + 9i - 3i^2 = 6 + 7i + 3 = 9 + 7i \)
\( \frac{z_1}{z_2}=\frac{2+3i}{3-i}=\frac{2+3i}{3-i} \cdot \frac{3+i}{3+i} = \frac{ 6+2i+9i+3i^2}{9-i^2}= \frac{6+11i-3}{9+1}= \frac{3+11i}{10}= \frac{3}{10} + \frac{11}{10} i \)
\( z_1 + z_2 = 2+3i + 3-i = 5 + 2i \)
\( z_1 - z_2 = 2+3i - (3-i) = 2+3i - 3+i = -1 + 4i \)
\( z_1 \cdot z_2 = (2+3i) \cdot (3-i) = 6-2i + 9i - 3i^2 = 6 + 7i + 3 = 9 + 7i \)
\( \frac{z_1}{z_2}=\frac{2+3i}{3-i}=\frac{2+3i}{3-i} \cdot \frac{3+i}{3+i} = \frac{ 6+2i+9i+3i^2}{9-i^2}= \frac{6+11i-3}{9+1}= \frac{3+11i}{10}= \frac{3}{10} + \frac{11}{10} i \)
\( (1\pm i)^2=1\pm2i+i^2=1\pm2i-1=\pm2i \)
\( \left( \frac{-1+i\sqrt3}{2} \right)^3 = \frac{-1+3i\sqrt3+9-3i\sqrt3 }{8} = 1\)
\( |z_1 \cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2| \: \: \: ; \:\) \( \: |\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|} \)
\( \left( \frac{-1+i\sqrt3}{2} \right)^3 = \frac{-1+3i\sqrt3+9-3i\sqrt3 }{8} = 1\)
\( |z_1 \cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2| \: \: \: ; \:\) \( \: |\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|} \)